» » »

Простейшие приёмы интегрирования

1. Найти интеграл \(\int\sqrt{x}dx\).

Решение

$$ \int\sqrt{x}dx =\int{x^\frac{1}{2}}dx =\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} =\frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} =\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C. $$

Ответ: \(\int\sqrt{x}dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C\).

2. Найти интеграл \(\int\sqrt[m]{x^n}dx\).

Решение

$$ \int\sqrt[m]{x^n}dx =\int{x^\frac{n}{m}}dx $$

Если \(\frac{n}{m}=-1\), то:

$$ \int{x^\frac{n}{m}}dx =\int{x^{-1}}dx =\int\frac{dx}{x} =\ln|x|+C $$

Если \(\frac{n}{m}\neq{-1}\), то:

$$ \int{x^\frac{n}{m}}dx =\frac{x^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1}+C =\frac{x^{\frac{n+m}{m}}}{\frac{n+m}{m}}+C =\frac{m\cdot\sqrt[m]{x^{n+m}}}{n+m}+C $$

Ответ: Если \(\frac{n}{m}=-1\), то \(\int\sqrt[m]{x^n}dx=\ln|x|+C\). Если \(\frac{n}{m}\neq{-1}\), то \(\int\sqrt[m]{x^n}dx=\frac{m\cdot\sqrt[m]{x^{n+m}}}{n+m}+C\).

3. Найти интеграл \(\int\frac{dx}{x^2}\).

Решение

$$ \int\frac{dx}{x^2} =\int{x^{-2}}dx =\frac{x^{-1}}{-1}+C =-\frac{1}{x}+C $$

Ответ: \(\int\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C\).

4. Найти интеграл \(\int{10^x}dx\).

Решение

$$ \int{10^x}dx =\frac{10^x}{\ln{10}}+C $$

Ответ: \(\int{10^x}dx=\frac{10^x}{\ln{10}}+C\).

5. Найти интеграл \(\int{a^x e^x}dx\).

Решение

$$ \int{a^x e^x}dx =\int{(ae)^x}dx =\frac{(ae)^x}{\ln(ae)}+C =\frac{(ae)^x}{\ln{a}+\ln{e}}+C =\frac{(ae)^x}{\ln{a}+1}+C $$

Ответ: \(\int{a^x e^x}dx=\frac{(ae)^x}{\ln{a}+1}+C\).

6. Найти интеграл \(\int\frac{dx}{2\sqrt{x}}\).

Решение

$$ \int\frac{dx}{2\sqrt{x}} =\frac{1}{2}\int{x^{-\frac{1}{2}}}dx =\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C =x^\frac{1}{2}+C =\sqrt{x}+C $$

Ответ: \(\int\frac{dx}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+C\).

7. Найти интеграл \(\int\frac{dh}{\sqrt{2gh}}\).

Решение

$$ \int\frac{dh}{\sqrt{2gh}} =\frac{1}{\sqrt{2g}}\int\frac{dh}{\sqrt{h}} =\frac{1}{\sqrt{2g}}\int{h^{-\frac{1}{2}}}dh =\frac{1}{\sqrt{2g}}\cdot\frac{h^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C =\frac{1}{\sqrt{2g}}\cdot{2}\sqrt{h}+C =\sqrt{\frac{2h}{g}}+C $$

Ответ: \(\int\frac{dh}{\sqrt{2gh}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+C\).

8. Найти интеграл \(\int{3{,}4x^{-0{,}17}}dx\).

Решение

$$ \int{3{,}4x^{-0{,}17}}dx =3{,}4\int{x^{-0{,}17}}dx =3{,}4\cdot\frac{x^{-0{,}17+1}}{-0{,}17+1}+C =3{,}4\cdot\frac{x^{0{,}83}}{0{,}83}+C =\frac{340x^{0{,}83}}{83}+C $$

Ответ: \(\int{3{,}4x^{-0{,}17}}dx=\frac{340x^{0{,}83}}{83}+C\).

9. Найти интеграл \(\int(1-2u)du\).

Решение

$$ \int(1-2u)du =\int{1}du-2\int{u}du =u-2\cdot\frac{u^2}{2}+C =u-u^2+C $$

Ответ: \(\int(1-2u)du=u-u^2+C\).

10. Найти интеграл \(\int\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)dx\).

Решение

$$ \int\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)dx =\int\left(x\sqrt{x}-x+\sqrt{x}+x-\sqrt{x}+1\right)dx =\int\left(x\sqrt{x}+1\right)dx=\\ =\int\left(x^\frac{3}{2}+1\right)dx =\int{x^\frac{3}{2}}dx+\int{1}dx =\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+x+C =\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+x+C =\frac{2x^2\sqrt{x}}{5}+x+C $$

Ответ: \(\int\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)dx=\frac{2x^2\sqrt{x}}{5}+x+C\).

11. Найти интеграл \(\int\frac{\sqrt{x}-x^3e^x+x^2}{x^3}dx\).

Решение

$$ \int\frac{\sqrt{x}-x^3e^x+x^2}{x^3}dx =\int\left(\frac{\sqrt{x}}{x^3}-\frac{x^3e^x}{x^3}+\frac{x^2}{x^3}\right)dx=\\ =\int\left(x^{-\frac{5}{2}}-e^x+\frac{1}{x}\right)dx =\frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}-e^x+\ln|x|+C =-\frac{2}{3x\sqrt{x}}-e^x+\ln|x|+C $$

Ответ: \(\int\frac{\sqrt{x}-x^3e^x+x^2}{x^3}dx=-\frac{2}{3x\sqrt{x}}-e^x+\ln|x|+C\).

12. Найти интеграл \(\int\left(2x^{-1{,}2}+3x^{-0{,}8}-5x^{0{,}38}\right)dx\).

Решение

$$ \int\left(2x^{-1{,}2}+3x^{-0{,}8}-5x^{0{,}38}\right)dx=\\ =2\cdot\frac{x^{-0{,}2}}{-0{,}2}+3\cdot\frac{x^{0{,}2}}{0{,}2}-5\cdot\frac{x^{1{,}38}}{1{,}38}+C =-10x^{-0{,}2}+15x^{0{,}2}-\frac{250x^{1{,}38}}{69}+C $$

Ответ: \(\int\left(2x^{-1{,}2}+3x^{-0{,}8}-5x^{0{,}38}\right)dx=-10x^{-0{,}2}+15x^{0{,}2}-\frac{250x^{1{,}38}}{69}+C\).

13. Найти интеграл \(\int\left(\frac{1-z}{z}\right)^2dz\).

Решение

$$ \int\left(\frac{1-z}{z}\right)^2dz =\int\left(\frac{1}{z}-1\right)^2dz =\int\left(\left(\frac{1}{z}\right)^2-2\cdot\frac{1}{z}+1\right)dz=\\ =\int\left(z^{-2}-2\cdot\frac{1}{z}+1\right)dz =\frac{z^{-1}}{-1}-2\ln|z|+z+C =-\frac{1}{z}-2\ln|z|+z+C $$

Ответ: \(\int\left(\frac{1-z}{z}\right)^2dz=-\frac{1}{z}-2\ln|z|+z+C\).

14. Найти интеграл \(\int\frac{(1-x)^2}{x\sqrt{x}}dx\).

Решение

$$ \int\frac{(1-x)^2}{x\sqrt{x}}dx =\int\frac{1-2x+x^2}{x\sqrt{x}}dx =\int\left(\frac{1}{x\sqrt{x}}-\frac{2x}{x\sqrt{x}}+\frac{x^2}{x\sqrt{x}}\right)dx=\\ =\int\left(x^{-\frac{3}{2}}-2x^{-\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}\right)dx =\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}-2\cdot\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C =-\frac{2}{\sqrt{x}}-4\sqrt{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C $$

Ответ: \(\int\frac{(1-x)^2}{x\sqrt{x}}dx=-\frac{2}{\sqrt{x}}-4\sqrt{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C\).

15. Найти интеграл \(\int\frac{\left(1+x^\frac{1}{2}\right)^3}{x^\frac{1}{3}}dx\).

Решение

$$ \int\frac{\left(1+x^\frac{1}{2}\right)^3}{x^\frac{1}{3}}dx =\int\frac{1+3x^\frac{1}{2}+3x+x^\frac{3}{2}}{x^\frac{1}{3}}dx =\int\left(\frac{1}{x^\frac{1}{3}}+\frac{3x^\frac{1}{2}}{x^\frac{1}{3}}+\frac{3x}{x^\frac{1}{3}}+\frac{x^\frac{3}{2}}{x^\frac{1}{3}}\right)dx=\\ =\int\left(x^{-\frac{1}{3}}+3x^\frac{1}{6}+3x^\frac{2}{3}+x^\frac{7}{6}\right)dx =\frac{x^\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}+3\cdot\frac{x^\frac{7}{6}}{\frac{7}{6}}+3\cdot\frac{x^\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}}+\frac{x^\frac{13}{6}}{\frac{13}{6}}+C=\\ =\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2}+\frac{18x\sqrt[6]{x}}{7}+\frac{9x\sqrt[3]{x^2}}{5}+\frac{6x^2\sqrt[6]{x}}{13}+C $$

Ответ: \(\int\frac{\left(1+x^\frac{1}{2}\right)^3}{x^\frac{1}{3}}dx=\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2}+\frac{18x\sqrt[6]{x}}{7}+\frac{9x\sqrt[3]{x^2}}{5}+\frac{6x^2\sqrt[6]{x}}{13}+C\)


Заказать консультацию напрямую у исполнителя
СКИДКА 50% на решение подобной работы!


  • Срок выполнения
    Прикрепить файл (до 5 Мб):
  • Ваш комментарий
Всего комментариев: 0
avatar