Вариант 5 Изобразите четыре реализации случайного процесса

Задача №87-1399.

ЗАДАНИЕ 1
Изобразите четыре реализации случайного процесса Y(t), (t∈R, если не оговорено особо, X – непрерывная случайная величина, равномерно распределенная на отрезке  [a;b])
Y(t)=Xe^-2t,  t≥0,  a=0,  b=5

ЗАДАНИЕ 2

Задан случайный процесс Y(t)=(N*t-N/2)² X+N/10,  t∈R  (варианты 1-10).

Найдите и постройте реализации случайного процесса, если N =5 – номер варианта и 

X – дискретная случайная величина:

x_i   1    4    5

p_i   0,4   0,5   0,1

Вычислите характеристики m_y (t), D_y (t), σ_y (t) случайного процесса  Y(t). 

Постройте математическое ожидание  m_y (t)  случайного процесса Y(t)

ЗАДАНИЕ 3
Случайная функция X(t) задана в виде X(t)=at*V+b,где V – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами   m_V,σ_V,(a,b- неслучайные величины). 
Найдите одномерную плотность f(t,x) распределения случайной функции X(t)  и ее характеристики  m_x (t),D_x (t), если 

m_V=5, σ_V=5/10=0.5,a=4,b=2

ЗАДАНИЕ 4
Случайная функция X(t)=W для любого t∈R, где W – непрерывная случайная величина с плотностью распределения
p(w)=-0.1w+0.5,      w∈[-1;1]   и  p(w)=0,  w∉[-1;1]
Найдите выражение для :
а) одномерной плотности  f(t,x)  распределения, 
б) одномерной F(t,x)  и двумерной  F(t₁,t₂,x₁,x₂) функции распределения случайного процесса  X(t).  
Вычислите характеристики  m_x (t), K_x (t,t' )  и D_x (t) случайного процесса  X(t)

ЗАДАНИЕ 5
Случайная функция X(t) имеет характеристики m_x (t)=exp⁡(6t), K_x (t,t' )=9t⁸ (t' )¹⁶
Найдите характеристики m_y (t), m_z (t), K_y (t,t' ), K_z (t,t' ), D_y (t), D_z (t)  случайных функций:
а)  Y(t)=(7t+3) X' (t)+sin⁡8t
б)  Z(t)=7∫₀^tX(s)ds+8 ln⁡(7²+t²) 

ЗАДАНИЕ 6
Докажите, что случайная функция X(t)=m_x+∑_(k=1)^∞X_k (t),  
где X_k (t)=U_k  cos⁡(w_k t)+V_k  sin⁡(w_k t),U_k,V_k – случайные величины, w_k – неслучайные величины,
 M[U_k ]=M[V_k ]=0,  D[U_k ]=D[V_k ]=D_k,M[U_k V_l ]=0,M[U_k U_l ]=0,M[V_k V_l ]=0,k≠n,
k,l,n=1,2,3,… является стационарной.
 Найдите ее характеристики m_X,K_X (τ),D_X

ЗАДАНИЕ 7
Найдите спектральную плотность s_x (w) стационарного случайного процесса, у которого корреляционная функция задана выражением:
K_x (τ)=exp⁡(-8|τ|) (ch(5τ)+(8/5)sh(5|τ |))

ЗАДАНИЕ 8
Спектральная плотность стационарной случайной функции X(t) имеет вид:
$$a)s_{x}(w)=\left\{\begin{matrix} b, & если\: N< \left | w \right |< N+a\\ 0, & в остальных случаях \end{matrix}\right.$$ $$b)s_{x}(w)=b\, esp\left ( -\frac{\left | w \right |}{N} \right ),\: \: N=5$$ Найдите корреляционную функцию K_x (τ) и дисперсию  D_x
a=4,b=7

ЗАДАНИЕ 9
На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой уравнением 
5Y' (t)+10Y(t)=-15X' (t)+6X(t)
подается стационарный случайный процесс X(t)  с характеристиками:
 m_x=0.25,  K_x (τ)=3 exp⁡(-5|τ|/3)
Найдите математическое ожидание m_y  и  дисперсию Dy   случайного процесса на выходе системы в установившемся режиме

ЗАДАНИЕ 10
Задана матрица R перехода за один шаг цепи Маркова.
Найдите матрицу состояний системы на втором и десятом шаге, если система в начальный момент времени находится в состоянии
 S₁ (i=1-8), S₂ (i=9-16), S₃ (i=17-25)
Определите финальное распределение вероятностей и среднее время пребывания системы в каждом из состояний S_1, S₂, S₃

$$R=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 0 & 1 &9 \\ 2 & 4 &4 \\ 2 & 7 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0,1 &0,9 \\ 0,2 & 0,4 &0,4 \\ 0,2& 0,7 & 0,1 \end{pmatrix}$$

---